Senin, 03 September 2012

Besaran dan Dimensi


Ketut Ngurah Artawan, S.Pd., M.Pd.

Kemampuan Dasar

Membedakan besaran pokok dan besaran turunan beserta satuan dan dimensinya  serta memprediksi dimensi suatu besaran dan melakukan analisis

Indikator Hasil  Belajar

1.         Menjelaskan perbedaan antara besaran pokok dan besaran fisis
2.         Mengelompokkan besaran fisis yang diberikan ke dalam besaran pokok dan besaran turunan
3.         Menentukan definisi standar dari besaran pokok
4.         Menjelaskan pentingnya diadakan sistem SI
5.         Menentukan satuan dan dimensi dari besaran pokok berdasarkan SI
6.         Menurunkan satuan dan dimensi dari besaran turunan berdasarkan satuan dan dimensi besaran pokok
7.         Menyebutkan kegunaan dari dimensi
8.         Melakukan verifikasi terhadap kesetaran besaran fisis berdasarkan analisis dimensi

Anda tentu mengetahui bahwa fisika adalah bagian dari Ilmu Pengetahuan Alam atau Sains yang memiliki banyak besaran fisis. Besaran fisis digunakan untuk menyatakan hukum-hukum fisika, misalnya: panjang, massa, waktu, gaya, kecepatan, temperatur, intensitas cahaya, dan banyak lagi yang lain. Ada banyak besaran fisis, kadang-kadang saling bergantung
satu dengan lainnya, sehingga pengaturannya menjadi sulit, misalnya saja laju (speed) adalah perbandingan antara panjang dan waktu. Yang harus kita lakukan adalah memilih sejumlah kecil besaran fisis sebagai besaran pokok. Besaran-besaran fisis lainnya dapat diturunkan dari besaran pokok.
Kita mengatakan bahwa suatu besaran fisis telah terdefinisi, misalnya massa, bila telah ditetapkan seperangkat tata cara untuk mengukur besaran tersebut dan telah dicantumkan satuannya, misalnya kilogram (kg). Ini berarti bahwa kita telah menetapkan suatu standar. Standar yang dimaksud ini adalah bagaimana mendefinisikannya secara praktis dan bermanfaat dan dapat diterima secara internasional.
          Terkait dengan bahasan satuan standar muncul beberapa pertanyaan. Ada berapa berapa besaran pokok dalam fisika? Bagaimana cara menetapkan besaran pokok? Mengapa harus ditetapkan standar pengukuran terhadap besaran fisis? Apakah semua besaran fisis memiliki standar pengukuran? Berdasarkan kriteria apa standar ini ditetapkan? Apa tujuan ditetapkan standar ini?
          Terhadap pertanyaan-pertanyaan tersebut, secara sepintas kita sering berpikir bahwa dalam fisika hanya terdapat tiga buah besaran pokok, yaitu massa, panjang, dan waktu. Satuan besaran pokok ditetapkan begitu saja, sedangkan satuan besaran turunan dapat diperoleh dari satuan besaran pokok tanpa menggunakan definisi operasional dari besaran turunan tersebut. Begitu juga dalam penggunaan analisis dimensi, sering pula kita beranggapan bahwa rumus fisika yang  kedua ruas persamaannya memiliki dimensi yang sama pasti benar. Semua gagasan-gasan tersebut ternyata miskonsepsi. Pada bagian berikut akan dibahas mengenai konsep-konsep besaran fisis, standar, satuan dan dimensinya.

Besaran Fisis

Di SMA Anda telah mendefinisikan besaran fisis, yaitu segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka. Anda juga telah mengetahui bahwa besaran fisis dikelompokkan menjadi dua, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok adalah besaran yang satuannya telah ditetapkan terlebih dahulu dan tidak dapat diturunkan dari besaran lain. Ada tujuh besaran pokok dalam fisika, seperti ditunjukkan pada Tabel 1.1. Besaran turunan adalah besaran yang satuannya diturunkan dari satu atau lebih besaran pokok.

 

Tabel 1.1

Besaran pokok, satuan dan dimensinya


Besaran pokok
Satuan
Simbol satuan
Dimensi
panjang
meter
m
L  atau 
massa
kilogram
kg
M atau 
waktu
sekon
s
T  atau 
kuat arus listrik
ampere
A
I   atau 
suhu
kelvin
K
q  atau 
jumlah zat
mol
mol
N atau 
intesitas cahaya
kandela
cd
J atau  

Dalam menurunkan satuan besaran turunan Anda harus mengetahui definisi fisis dai besaran tersebut. Ada banyak sekali besaran turunan dalam fisika. Contoh beberapa besaran turunan dalam fisika dapat ditunjukkan pada Tabel 1.2.
Tabel 1..2
Beberapa besaran turunan, dimensi, dan satuannya

Besaran turunan
Rumus
Satuan
Dimensi
luas
panjang ´ lebar
m2
L2
volume
panjang ´ lebar ´ tinggi
m3
L3
massa jenis
kg m-3
M L-3
kecepatan
m s-1
L T-1
percepatan
m s-2
L T-2
gaya
massa x percepatan
kg  m s-2 = newton (N)
M L T-2
usaha dan energi
gaya x perpindahan
kg m2 s-2 = joule (J)
M L2 T-2
tekanan
kg m-1s-2 = pascal (Pa)
M L-1 T-2
daya
kg m2 s-3 =
 watt (W)
M L2 T-3
impuls dan momentum
gaya x waktu
kg m s-1 = N s
M L T-1

Standar hanya diberikan untuk besaran-besaran pokok saja. Satuan dari besaran pokok ini akan didefinisikan berdasarkan operasi-operasi laboratorium pengukuran tertentu. Sekali kita telah menetapkan suatu standar dasar, katakanlah untuk panjang misalnya, kita harus menetapkan juga cara untuk mengukur panjang benda lain dengan membandingkannya dengan standar tersebut. Ini berarati bahwa standar itu harus selalu dapat diperoleh kembali. Kita juga menginginkan agar setiap kali kita membandingkan benda yang sama dengan standar diperoleh hasil yang sama dalam batas limit tertentu. Hal ini berarti bahwa standar tidak boleh berubah. Berikut akan dibahas sistem standar yang telah ditetapkan dalam menentukan satuan besaran pokok.

Sistem Satuan Internasional

Sebelum adanya standar internasional, hampir setiap negara menetapkan sistem satuannya sendiri. Sebagai contoh, satuan panjang di negara Indonesia adalah hasta dan jengkal, di Inggeris dikenal inci dan feet (kaki), dan di Perancis digunakan meter. Penggunaan bermacam-macam satuan untuk suatu besaran ini menimbulkan kesukaran. Kesukaran pertama adalah diperlukannya bermacam-macam alat ukur yang sesuai dengan satuan yang digunakan. Kesukaran kedua adalah kerumitan konversi dari satuan ke satuan lainnya, misalnya dari jengkal ke kaki. Ini disebabkan tidak adanya keteraturan yang mengatur konversi satuan-satuan tersebut.
Akibat adanya kesukaran yang ditimbulkan oleh penggunaan sistem satuan yang berbeda, maka muncul gagasan untuk menggunakan hanya atu jenis satuan saja untuk besaran-besaran dalam ilmu pengetahuan alam dan teknologi. Suatu perjanjian internasional telah menetapkan satuan internasional (International System of Units) disingkat satuan SI. Satuan SI ini diambil dari sistem metrik yang telah digunakan di Prancis setelah revolusi tahun 1789. Karena ada tujuh besaran pokok, maka juga ada tujuh satuan pokok dalam SI, yaitu: meter (m), kilogram (kg), sekon (s), ampere (A), kelvin (K), candela (cd), dan mol (mol). Berikut ini akan diuraikan standar yang digunakan dalam menetapkan satuan besaran pokok.
Satuan panjang: meter;  penetapan definisi satu meter standar telah mengalami beberapa kali perubahan. Pada tahun 1889, satu meter didefinisikan sebagai jarak antara dua tanda goresan pada batang khusus paduan platinum-iridium. Tiga puluh tongkat ini dibuat: salah satunya disimpan di Timbangan dan Ukuran Internasional dekat Paris sebagai standar internasional, dan yang lainnya dikirim ke laboratorium fisikawan Amerika A.A. Michelson, untuk mendefinisikan meter dalam panjang gelombang cahaya dan pada tahun 1960, meter didefinisikan ulang sebagai 1.650.763,73 panjang gelombang cahaya oranye tertentu yang dipancarkan gas krypton 86. Pada tahun 1983 meter didefinisikan ulang lagi, kali ini dalam laju cahaya (yang mempunyai nilai ukur terbaik dalam definisi meter yang lebih dahulu yaitu 299.792.458 m/s, dengan ketidakpastian 1 m/s). Definisi baru menyatakan: “satu meter adalah panjang lintasan yang dilalui cahaya dalam vakum selama interval waktu waktu 1/299.792.458 satu detik”
Satuan massa: kilogram : satu kilogram (disingkat kg) adalah massa sebuah kilogram standar yang disimpan di lembaga Timbangan dan Ukuran Internasional (CGPM ke-1, 1899). Dengan teknik pengukuran modern prototipe ini dapat diproduksi ulang dengan ketelitian skala 1:108. Ketelitian yang dicapai dengan cara menimbang ini masih lebih baik daripada ketelitian dengan cara penentuan massa menggunakan spektrografi massa. Inilah alasannya mengapa satuan massa belum di-“atom”-kan.
Satuan waktu: sekon; satu sekon (disingkat s) adalah selang waktu yang diperlukan oleh atom sesim-133 untuk melakaukan geteran sebanyak 9.192.631.770 kali dalam transisi anatara dua tingkat energi di tingkat energi dasarnya (CGPM ke 13, 1967). Sekon yang diatomkan ini dapat ditentukan dan diproduksi ulang dengan ketelitian 1: 1012.
Satuan kuat arus listrik: ampere; satu ampere (disingkat A) adalah kuat arus tetap yang jika dialirkan melalui dua kawat yang sejajar dan sangat panjang, dengan tebal yang dapat diabaikan dan diletakkan pada jarak pisah 1 meter dalam rauang vakum, menghasilkan gaya 2x10-7 newton pada setiap meter kawat (CGPM ke-9, 1948). Ketelitian yang diperoleh dari percobaan adalah 1: 106
Satuan suhu termodinamika:kelvin; satu kandela (disingkat cd) adalah intesintas cahaya sustu sumber cahaya yang memancarkan radiasi monokromatik pada frekuensi 540x1012 hertz dengan intensitas radiasi sebesar 1/683 watt per steradian dalam arah tersebut (CGPM ke-16, 1979)
Satuan jumlah zat: mole; satu mole (disingkat mol) adalah jumlah zat yang mengandung unsur elementer zat tersebut dalam jumlah sebanyak jumlah karbon dalam 0,012 kg karbon-12 (CPGM ke-14, 1971).
Dalam satuan SI, dikenal dua sistem metrik yaitu sistem MKS (meter-kilogram-sekon) dan sistem cgs (centimeter-gram-sekon) sebagai satuan standar panjang, massa dan waktu.
Apa keunggulan sistem SI? Satu keunggulan dari sistem metrik yang juga diadopsi dalam satuan SI adalah mirip dengan sistem bilangan desimal. Satuan tiap besaran fisis dapat dinyatakan dalam satuan pokok SI, yaitu m, kg, s hanya dengan mengunakan awalan. Awalan menyatakan kelipatan yang semuanya merupakan pangkat dari 10 ( 10n dengan n adalah bilangan bulat), persis seperti sistem desimal. Awalan-awalan ini ditunjukan pada Tabel 1.3. Awalan-awalan ini dapat digunakan untuk semua sistem SI.

Tabel. 1.3
               Awalan-awalan pada satuan SI (menyatakan pangkat dari 10)

Awal-an
Singkat-an
Kelipatan
Contoh
piko
p
1/1.000.000.000.000 atau 10-12
pikometer (pm)
nano
n
1/1.000.000.000        atau 10-9
nanometer (nm)
mikro
m
1/1.000.000               atau 10-6
mikogram (mg)
mili
m
1/1000                       atau 10-3
milimeter (mm)
senti
c
1/100                         atau 10-2
centimeter (cm)
desi
d
1/10                           atau 10-1
desimeter (dm)
deka
da
10                              atau 101
dekagram (dag)
hekto
h
100                            atau 102
hektometer (hm)
kilo
k
1000                          atau 103
kilogram (kg)
mega
M
1.000.000                  atau 106
megameter (Mm)
giga
G
1.000.000.000           atau 109
gigameter (Gm)
tera
T
1.000.000.000.000    atau 1012
terameter (Tm)


Contoh 1.1 Konversi Satuan
Ubahlah setiap besaran di ruas kiri menjadi nilai ekivalennya dalam satuan di ruas kanan
(a) 70 cm = ….. m       (b) 36 km/jam = …….m/s     (c) 5.000 cc  =…….m3

 

Pemecahan 1.1

Anda harus membuat dahulu persamaan yang menghubungkan 1 satuan di ruas kiri menjadi nilai ekivalennya dalam satuan di ruas kanan. Untuk satuan yang menggunakan awalan, gunakan kelipatan 10n seperti pada Tabel 1.3 untuk mendapat faktor konversi yang bernilai 1.
(a)    1 cm = 10-2 m (diperoleh dari Tabel 1.3)
bagi kedua ruas dengan 10-2 m sehingga diperoleh faktor konversi . Untuk mengkonversi 70 cm ke dalam m, Anda gunakan faktor konversi ini, diperoleh
(a)    70 cm =   = 70 x 10-2 m = 0,70 m
(b)    Dengan cara yang sama pada pemecahan (a), maka diperoleh
             = 20
(c)      Anda harus ingat bahwa 1 cc (centimeter cubik) = 1 cm3, dan dari tabel 1.3 diperoleh  1 cm = 10-2 m,  sehingga diperoleh faktor konversi . Dengan menggunakan faktor konversi ini, Anda dapat mengkonversi, dan untuk mengkonversi 5000 cc ke dalam m3, sebagai berikut.
5000 cc = 5000 x = 0,005 m3

Dimensi

Text Box:     tinggi
                                            lebar

                   panjang

Gambar. 1.1.1 Dimensi  Balok
Volume sebuah balok adalah hasil kali panjang, lebar, dan tingginya (Gambar 1.1.1). panjang, lebar, dan tinggi adalah besaran yang identik, yaitu ketiganya memiliki dimensi panjang. Oleh karena itu, dimensi volume adalah panjang3. Jadi, dimensi suatu besaran menujukkan cara besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok. Dimensi besaran pokok dinyatakan dengan lambang huruf tertentu (ditulis huruf besar), dan atau diberi kurung persegi. Sebagai contoh, dimensi dari besaran panjang ditulis L atau . Dimensi suatu besaran turunan ditentukan oleh rumus besaran turunan tersebut jika dinyatakan dalam besaran-besaran pokok. Sebagai contoh, dimensi dari besaran massa jenis yang didefinisikan sebagai hasil bagi massa zat  dan volumenya adalah
=
Contoh dimensi dari besaran-besaran turunan fisis yang lain telah disajikan pada Tabel 1.2.

Apa manfaat dimensi dalam fisika? Ada tiga manfaat dimensi dalam fisika, sebagai berikut.

1.        Dapat digunakan untuk membuktikan dua besaran fisis setara atau tidak. Dua besaran fisis yang hanya setara jika keduanya memiliki dimensi yang sama dan keduanya termasuk besaran skalar atau keduanya termasuk besaran vektor.
2.        Dapat digunakan untuk menetukan persamaan yang pasti atau mungkin benar
3.        Dapat digunakan untuk menurunkan persamaan suatu besaran fisis jika kesebandingan besaran fisis tersebut dengan besaran fisis lainnya diketahui.

Contoh 1.2 Membuktikan dua besaran setara
Buktikan bahwa usaha dan energi adalah dua besaran skalar yang setara

 

Pemecahan 1.2

Dari rumus usaha dan rumus energi kita akan dapat menentukan dimensi dari usaha dan energi. Bila anda memperoleh dimensi yang sama untuk kedua besaran ini, maka keduanya adalah besaran yang setara. Berdasarkan definisi bahwa usaha (W) adalah hasil kali gaya (F) dengan perpindahan (s), akan diperoleh dimensi dari usaha. Sedangkan gaya adalah hasil kali massa (m) dengan percepatan (a), dengan percepatan (a) merupakan hasil bagi kecepatan (v) dengan waktu (t). Dengan mengetahui definisi besaran-besaran tersebut maka dimensi usaha Anda dapat tetntukan dengan terlebih dahulu menetukan dimensi dari kecepatan (v) yang merupakan hasil bagi perpindahan (s) dengan waktu (t), sebagai berikut.
         
       
       
Langkah selanjutnya adalah menentukan dimensi dari energi. Salah satu bentuk energi yang Anda telah kenal adalah energi kinetik yang dirumuskan, dengan m = massa, memiliki dimensi  benda, dan v = kecepatan, memiliki dimensi  . Perhatikan suatu bilangan  tidak memiliki dimensi.
Jadi, energi memiliki energi sebagai berikut.
       
Karena usaha dan energi memiliki dimensi yang sama, yaitu , dan keduanya termasuk besaran skalar maka keduanya adalah besaran yang setara.

Contoh 1.3 Anailisis dimensi untuk menurunkan persamaan

Perhatikan getaran dari bandul sederhana. Kita anggap bahwa periode bandul (T) memiliki kesebandingan dengan besaran-besaran fisis berikut: massa beban bandul (m), panjang bandul (l), dan percepatan gravitasi bumi (g). Tentukan persamaan periode T sebuah bandul sederhana.

 
Pemecahan 1.3
Berdasarkan permasalahan tersebut, Anda dapat menuliskan persamaan periode bandul sederhana sebagai berikut.
        T = k mx l y gz *)
dengan k adalah tetapan tanpa dimensi. Selanjutnya dengan menggunakan prinsip dimensi ruas kiri = dimensi ruas kanan, Anda dapat menghitung nilai x, y, dan z, dan akhirnya menemukan persamaan untuk T. Dimensi periode adalah , dimensi massa adalah , dimensi panjang bandul adalah , dan dimensi percepatan gravitasi bumi adalah (lihat contoh 1.1.2). Dari persamaan *) diperoleh
                     (k tak berdimensi)
dengan mebandingkan persamaan di ruas kanan dengan di ruas kiri diperoleh
        x = 0
        1 = -2z atau z = -
        0 = y  + z atau y = - z =
Dengan memasukkan nilai-nilai x, y, z ke dalam persamaan *) diperoleh
       
       

Contoh 1.4  Analisis dimensi untuk menentukan dimensi konstanta

Jika besar  gaya pegas F menurut hukum Hooke dirumuskan
F = k x *)
dengan k adalah konstanta pegas dan x besarnya simpangan pegas dari posisi setimbangnya. Tentukan satuan dan dimensi dari konstanta pegas k

 

Pemecahan 1.4

Persamaan *) dapat ditulis sebagai k = , sehingga dimensi k dapat ditentukan dengan menentukan terlebih dahulu dimensi dari F dan x.
Dimensi gaya F adalah (lihat contoh 1.2) dan dimensi x adalah dimensi panjang, . Jadi, dimensi k adalah
         
Karena dimensi dari k telah diketahui, maka berdasarkan dimensi ini,  satuan k dalam sistem SI adalah .
Contoh 1.5  Menentukan persamaan fisika
Selidiki dengan analisis dimensi apakah persamaan fisis berikut salah atau mungkin benar
(a)                                
(b)    v2 = vo2 + 2 a s 
dengan l = panjang gelombang , v = kecepatan pada saat t, vo = kecepatan awal, T = peroide, s = perpindahan, E = energi, dan m = massa.

Pemecahan 1.5
(a)  Tentukan dimensi ruas kiri dan ruas kanan persamaan. Jika kedua persamaan memiliki dimensi yang sama maka persamaan tersebut mungkin benar, tetapi jika kedua dimensinya tidak sama, maka persamaan pasti salah. Karena panjang gelombang termasuk besaran panjang, dan T adalah termasuk besaran waktu, maka diperoleh
       
       

         

Karena keduia ruas dimensinya tidak sama, maka persamaan   pasti salah.


(b)  Kecepatan v dan vo memiliki dimensi yang sama yaitu , percepatan a memiliki dimensi  dan perpindahan S memiliki dimensi  (lihat contoh 1.2). Marilah kita selidiki dimensi dari kedua ruas persamaan:

                   
                     ( 2 tak berdimensi)
                   
Berdasarkan dimensi, karena kedua ruas memiliki dimensi yang sama, maka persamaan v2 = vo2 + 2 a s  mungkin benar. Lebih jauh bila Anda telusuri bahwa bentuk persamaan ini merupakan bagian dari persamaan gerak lurus yang Anda akan dapatkan pada pembelajaran berikutnya, yang ternyata persamaan ini adalah benar.
Tugas 1.1
1.      Apakah besaran pokok berbeda dengan besaran turunan? Mengapa?
2.      Apakah keberadaan satuan itu penting? Mengapa?
3.      Tuliskan prosedur yang dapat ditempuh untuk menentukan dimensi besaran turunan! Berikan contohnya!
4.      Momentum dan Impuls adalah dua besaran vektor. Momentum = Massa ´ Kecepatan, sedangkan mpuls = Gaya ´ Waktu. Apakah Momentum setara dengan Impuls? Mengapa?
5.      Berdasarkan analisis dimensi, apakah persamaan-persamaan berikut benar? Mengapa?
(a)                     (b)                     (c) 
6.      Dua benda massa m1 dan m2 terpisah sejauh r saling tarik menarik dengan gaya  dengan G adalah konstanta yang memiliki dimensi …. ?
7.        Perpindahan suatu partikel ketika bergerak dengan percepatan a memiliki kesebandingan dengan waktu t. Turunkan persamaan dimensi perpindahan partikel tersebut dengan analisis dimensi!
8.      Apakah dua besaran yang dijumlahkan harus memiliki dimensi yang sama? Mengapa?
9.      Apakah dua besaran yang dikalikan harus memiliki dimensi yang sama? Mengapa?
10.  Apakah suatu persamaan fisika yang kedua ruasnya memiliki dimensi yang sama pasti benar? Mengapa?
11.  Massa jenis air adalah 1gram/cm3
  1. Tentukan rumus dimensi massa jenis tersebut
  2. Tentukan satuan dimensional dari massa jenis tersebut
  3. Hitung besarnya massa jenis air jika dinyatakan dalam SI
12.  Gunakan analisis dimensi untuk menganalisis benar atau salahnya suatu persamaan fisika di bawah ini
  1. Laju (v) = jarak (s) ´ waktu (t)
  2. Gaya (F) = massa (m) ´ percepatan (a)
  3. Daya (P) = Energi (E)/ waktu (t)
  4. Tekanan (p) = Gaya (F) ´ luas (A)
13.  Jika ya, jelaskan, dan jika tidak, berilah satu contoh yang menyangkal terhadap pernyataan berikut.
  1. Haruskah dua besaran yang dijumlahkan memiliki dimensi yang sama?
  2. Haruskah dua besaran yang dikalikan memiliki dimensi yang sama?
  3. Apakah suatu persamaan fisika yang kedua ruas persamaannya memilki dimensi yang sama pasti benar?
14.  a. Kecepatan sebuah partikel dinyatakan dengan  v = P + Qt + R t2. Dalam persamaan ini v menunjukkan kecepatan dan t adalah waktu. Tentukan dimensi dan satuan SI dari P, Q, dan R.
  1. Momentum (p) dan impuls (I) adalah besaran vektor, di mana momentum adalah hasil kali massa dengan kecepatan dan impuls adalah hasil kali gaya dan waktu. Buktikan bahwa momentum dan impuls adalah dua besaran vektor setara.
  2. Perpindahan suatu partikel ketika bergerak dengan percepatan tetap memiliki kesebandingan dengan waktu t dan percepatan a. Turunkan persamaan perpindahan partikel tersebut dengan metode analisis dimensi.


Tidak ada komentar:

Poskan Komentar